知识专栏 | 声波的传播

平面声波的传播
 

平面声波是波阵面具有与传播方向垂直的平行平面的声波。因此，传播方向只与x有关，平面声波的波动方程使用一维波动方程，对于简谐运动，其解的形式为

式中，k=w/c0为声波波数；w=2πf；c0为声速。

第一项表示沿正x轴方向传播的行波，第二项表示沿负x方向的行波。如果声波在无限介质中传播时不存在反向行波，则B=0，有

设x=0，声源振动时在毗邻介质中产生了Pa*e^jwt的声压，这样求得A=Pa。再根据声波的质点振动公式

可求得质点速度

平面声波在均匀的理想介质中传播时，假定介质不存在粘滞等损耗，因而波阵面保持不变，声压幅值和质点的传播速度都不随距离而变化；根据声阻抗率定义、平面波波动方程和质点速度公式，求得平面波的声阻抗率为

由此说明了平面声场中的特性阻抗是常数，并且是一个实数。并且求得的声阻抗率公式反映了在平面声场中各位置上都无能量储存，在前一个位置上的能量可以完全地传播到后一个位置上去。

球面声波的传播

球面声波是波阵面为同心球面的声波。声场中的声压p仅是与球面坐标r有关，其波动方程为

其解为

式中，第一项代表向外辐射（发散）的球面波，第二项代表向球心反射（会聚）的球面波。在无限空间的条件下，因没有反射波，常数B=0。于是

根据质点速度与声压的关系，其径向质点速度为

球面波在空气中传播时，它的声压与质点速度之间的相位差与r/λ成反比。其中，r是球面声波的半径，λ是声波波长。在理想介质中，声压与球面波的半径成反比。

根据以上两个式子，可得声强

即声强与距离的平方成反比。这里Pe=Pa/√2为有效声压，而Pa=|A|/r，其中

|A|与球源的半径r0和表面振动ua有关。

因为声强仅是径向距离的函数，因而声强乘上以r为半径的球面面积，就可得到声波通过该球面的平均声功率为

介质的声阻抗率是复数
 

当球面声波的半径很大时，上式复数中的纯抗分量可以忽略，声阻抗率与平面声场表达式相同，为

柱面声波的传播
波阵面为同轴圆柱的声波称为柱面波，其波动方程为

方程的解为

式中，J0、N0分别为零阶柱贝塞尔函数和零阶柱诺依曼函数；“+”号，表示向外传播的柱面波；“-”号，表示向轴心集聚传播的柱面波。
 

当kr较大时，求出的近似行波解为

在kr>>1时声阻抗率与平面声场表达式相同

在距离声源较远的地方，柱面波的声强为

表明声强与距离成反比，每单位长度辐射的声功率为

平面波由于各种物理量之间的关系比较简单，且可以反映声学的基本特定，因此是声学研究中的主要研究对象。但是，平面波只有在满足条件的管道中产生，通常条件下不能产生真正意义的平面波。但从上面的介绍中可以看到，在离声源足够远的区域（远场），各种类型的声波其局部可近似为平面波。

此外，声波在自由空间中传播，当它的波长比声源尺寸大得多时，声波就以球面波的形式均匀地向四面八方辐射，而没有方向性。当声源辐射的声波，其波长比声源尺寸小得多时，声源辐射的声波就形成了一定的方向性，以略微发散的声束向正前方传播。

当声波的波长与声源尺寸相比，其比值越小，则辐射的声束发散角越小时，表现出很强方向性。当两者相比非常小时，声波几乎以不发散的声束成平面的形状由声源向外传播。